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数学家找到第一个"无法穿过自身"的形状
数学家找到第一个"无法穿过自身"的形状数学家找到第一个"无法穿过自身"的形状
此后所有研究都依赖这个思路：改变形状方向，寻找能让“影子”嵌入另一影子的角度。借助计算机，数学家们陆续在复杂多面体中找到了各种穿越路径。某些几乎紧到极限，比如“增三四面体”的通道仅比半径大0.000002倍。
但计算也暴露了奇特的规律——对某个形状，算法要么很快找到通道，要么永远找不到。约翰斯·霍普金斯大学的Benjamin Grimmer说，他让电脑连续运行两周，尝试让一种由62个正多边形组成的“菱方截二十面体”通过自身，结果毫无进展。
不过，找不到通道并不意味着它真的不行。毕竟方向无限多，电脑只能检查有限数量。也许通道只是藏得更深。
Murphy开始生成上亿种形状：随机的、多对称的、顶点在球面上的，甚至刻意破坏已有通道的形状。几乎所有都能找到穿越路径。这让人们更确信，真正的“不行”形状一定非常罕见。
Steininger和Yurkevich早在少年时期就是数学奥赛搭档。虽然一个拿了硕士、一个拿了博士后都离开学术界，他们仍常聚在一起解谜。
“我们几个小时前还在吃披萨，全程都在聊数学。”Steininger笑着说。
五年前，他们看到一个立方体穿过另一个的视频，被深深吸引。他们写了算法寻找穿越通道，逐渐确信某些形状根本不具备Nopert性质。2021年，他们首次提出“菱方截二十面体”可能是反例。
要证明某形状是Nopert，就必须排除所有可能的方向。数学上，每种方向都可转化为一个“参数空间”中的点。若在某方向上影子超出边界，就能排除那一点。有时偏差很大，就能排除一整片区域。Steininger和Yurkevich提出了“全局定理”，用来计算能排除的区域大小。
如果这些区域最终覆盖整个空间，就能证明形状确实无法穿过自身。但有时偏差太小，只能排除微小的片段。于是，他们又提出“局部定理”：若影子的三个顶点形成的三角形正好包住中心点，那么任何轻微旋转都会让影子向外膨出，从而无法嵌入原影子。这意味着，在这种情况下，也不存在通道。
他们检查了几百种对称的多面体，结果全都失败——没有哪种形状的所有影子都满足条件。于是，他们决定“造”一个。
经过不断迭代，算法生成了Noperthedron：一个由150个三角形和两个十五边形组成的几何体，形似一个胖胖的水晶花瓶，底部和顶部都很宽。有人甚至3D打印出模型当笔筒。
他们将所有可能的方向空间分成1800万个小格子，对每个格子的中心点进行检测，没有一个能产生通道。接着又用局部定理和全局定理验证每个格子都能被排除。既然整个空间都被覆盖，证明完成——Noperthedron彻底没有“穿越自身”的可能。
“长期以来的自然假设被推翻了，”Smith学院的Joseph O’Rourke评价道。
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还没人说话啊，我想来说几句
但计算也暴露了奇特的规律——对某个形状，算法要么很快找到通道，要么永远找不到。约翰斯·霍普金斯大学的Benjamin Grimmer说，他让电脑连续运行两周，尝试让一种由62个正多边形组成的“菱方截二十面体”通过自身，结果毫无进展。
不过，找不到通道并不意味着它真的不行。毕竟方向无限多，电脑只能检查有限数量。也许通道只是藏得更深。
Murphy开始生成上亿种形状：随机的、多对称的、顶点在球面上的，甚至刻意破坏已有通道的形状。几乎所有都能找到穿越路径。这让人们更确信，真正的“不行”形状一定非常罕见。
Steininger和Yurkevich早在少年时期就是数学奥赛搭档。虽然一个拿了硕士、一个拿了博士后都离开学术界，他们仍常聚在一起解谜。
“我们几个小时前还在吃披萨，全程都在聊数学。”Steininger笑着说。
五年前，他们看到一个立方体穿过另一个的视频，被深深吸引。他们写了算法寻找穿越通道，逐渐确信某些形状根本不具备Nopert性质。2021年，他们首次提出“菱方截二十面体”可能是反例。
要证明某形状是Nopert，就必须排除所有可能的方向。数学上，每种方向都可转化为一个“参数空间”中的点。若在某方向上影子超出边界，就能排除那一点。有时偏差很大，就能排除一整片区域。Steininger和Yurkevich提出了“全局定理”，用来计算能排除的区域大小。
如果这些区域最终覆盖整个空间，就能证明形状确实无法穿过自身。但有时偏差太小，只能排除微小的片段。于是，他们又提出“局部定理”：若影子的三个顶点形成的三角形正好包住中心点，那么任何轻微旋转都会让影子向外膨出，从而无法嵌入原影子。这意味着，在这种情况下，也不存在通道。
他们检查了几百种对称的多面体，结果全都失败——没有哪种形状的所有影子都满足条件。于是，他们决定“造”一个。
经过不断迭代，算法生成了Noperthedron：一个由150个三角形和两个十五边形组成的几何体，形似一个胖胖的水晶花瓶，底部和顶部都很宽。有人甚至3D打印出模型当笔筒。
他们将所有可能的方向空间分成1800万个小格子，对每个格子的中心点进行检测，没有一个能产生通道。接着又用局部定理和全局定理验证每个格子都能被排除。既然整个空间都被覆盖，证明完成——Noperthedron彻底没有“穿越自身”的可能。
“长期以来的自然假设被推翻了，”Smith学院的Joseph O’Rourke评价道。
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