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一位华裔数学家40年目睹之怪现状
一位华裔数学家40年目睹之怪现状一位华裔数学家40年目睹之怪现状
这就能解释为何我讲授《高等微积分》学年课程第一学期的期中考试第一题，绝大多数修课的数学系本科生和研究生都做不出来，因为他们在高中没有受过几何证明的洗礼。而这些答不出试卷本科生中的相当一部分人将来的职业是中学数学老师。
当这道题是关于一个数集的上确界和下确界，该简单数集由所有分数1/n - 1/m组成，其中n和m取所有的自然数。
尽管我早已清楚现实的残酷，讲授确界概念时花了远超教学大纲中计划的时间，翻来覆去地举例解释上确界的定义，阐述其意思：它是给定数集的一个上界，且在该数集的所有上界中，它最小，即它是数集的“最小上界”。我也用ε-语言刻画了上确界：数s为数集A的上确界，当且仅当s大于或等于A中的所有数，且对任意正数ε，存在A中的数a使得a > s - ε。这个不等式给出“比上确界更小的数不是上界”的数学表达。
自然，精确理解这些等价语言，必须具有逻辑推理的足够武功，而这套武功的最初练武场就是中学平面几何命题证明的课堂——这个练武场在美国的普通高中不知踪影。
04
截然不同的精英教育
但是，上述事例并不能得出美国的数学教育一塌糊涂的结论，更不能用来否定美国各地对资优教育的极端重视。
美国的教育方式和它的意识形态具有相当的一致性，大体上是“崇尚自由”。在学校，教师对学生的数学学习是除了必修课外，“任君取舍”，但对母语的训练不遗余力，因而进入大学的学生，数学可以将1/2 + 1/3算成2/5，但几乎个个能说会道，绝不害羞。
另一方面，每所普通高中都有小部分高天赋学生，他们也有鸿鹄之志，对这样的好学生，学校给他们开小灶，或修大学先行课程如“AP微积分”，或送到附近的大学修课。因此美国青少年中的前百分之几的聪明好学者，最终成长为改变美国甚至改变世界的领路人。
多年的观察让我早就看到，虽然美国普通理工科大学生的数学基础，和中国的同类大学生比起来弱得多，但是在诸如斯坦福大学就读的精英大学生中，许多人的数学本领强于中国名牌大学的数学尖子。但在本文，我们不讨论资优教育，仅仅着眼于从美国对普通学子数学教育的“失算”历史回顾中吸取怎样的教训。
05
我们需要什么样的数学教育
如上对美国中小学数学教育所走弯路以及对大学数学教育造成危害的简要描述，实际上给“我们需要什么样的数学教育？”提供了一点线索，那就是：好的数学教育应该是好的老师有效传授给学生对未来的发展行之有效的基础知识、基本技能，培养创造性思维的能力和举一反三应用所学的功夫。
更具体地说：人类千百年间发现的数学基础知识是前人留下的宝贵财产，是后人能够创新的雄厚资本。青少年阶段应该像海绵般地沉浸于此，为未来打下坚实的基础。熟练操作的基本技能是牢固掌握基础知识以便将来能熟练应用所学知识的关键，容不得有半点的虚假和讨巧。
只有在全面吸收基础知识以及对基本技能运用自如后，人们才有能力和潜质进一步从事“探索式的学习”，进入更高层次的学习，乃至走向创造新知识、发明新技术之路，而不是过程相反，在缺乏基础知识和基本技能的情形下，就能轻而易举地发现新知识。
这就是数学教育的逻辑所在和基本规律。那种打着“探索性自主式学习”旗号的“进步主义教学法”，教出的学生只能是知识结构残缺不全却容易好高骛远，因为他们本来就空空的脑袋不可能容易无中生有地探索出未曾学过的知识来。
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尽管我早已清楚现实的残酷，讲授确界概念时花了远超教学大纲中计划的时间，翻来覆去地举例解释上确界的定义，阐述其意思：它是给定数集的一个上界，且在该数集的所有上界中，它最小，即它是数集的“最小上界”。我也用ε-语言刻画了上确界：数s为数集A的上确界，当且仅当s大于或等于A中的所有数，且对任意正数ε，存在A中的数a使得a > s - ε。这个不等式给出“比上确界更小的数不是上界”的数学表达。
自然，精确理解这些等价语言，必须具有逻辑推理的足够武功，而这套武功的最初练武场就是中学平面几何命题证明的课堂——这个练武场在美国的普通高中不知踪影。
04
截然不同的精英教育
但是，上述事例并不能得出美国的数学教育一塌糊涂的结论，更不能用来否定美国各地对资优教育的极端重视。
美国的教育方式和它的意识形态具有相当的一致性，大体上是“崇尚自由”。在学校，教师对学生的数学学习是除了必修课外，“任君取舍”，但对母语的训练不遗余力，因而进入大学的学生，数学可以将1/2 + 1/3算成2/5，但几乎个个能说会道，绝不害羞。
另一方面，每所普通高中都有小部分高天赋学生，他们也有鸿鹄之志，对这样的好学生，学校给他们开小灶，或修大学先行课程如“AP微积分”，或送到附近的大学修课。因此美国青少年中的前百分之几的聪明好学者，最终成长为改变美国甚至改变世界的领路人。
多年的观察让我早就看到，虽然美国普通理工科大学生的数学基础，和中国的同类大学生比起来弱得多，但是在诸如斯坦福大学就读的精英大学生中，许多人的数学本领强于中国名牌大学的数学尖子。但在本文，我们不讨论资优教育，仅仅着眼于从美国对普通学子数学教育的“失算”历史回顾中吸取怎样的教训。
05
我们需要什么样的数学教育
如上对美国中小学数学教育所走弯路以及对大学数学教育造成危害的简要描述，实际上给“我们需要什么样的数学教育？”提供了一点线索，那就是：好的数学教育应该是好的老师有效传授给学生对未来的发展行之有效的基础知识、基本技能，培养创造性思维的能力和举一反三应用所学的功夫。
更具体地说：人类千百年间发现的数学基础知识是前人留下的宝贵财产，是后人能够创新的雄厚资本。青少年阶段应该像海绵般地沉浸于此，为未来打下坚实的基础。熟练操作的基本技能是牢固掌握基础知识以便将来能熟练应用所学知识的关键，容不得有半点的虚假和讨巧。
只有在全面吸收基础知识以及对基本技能运用自如后，人们才有能力和潜质进一步从事“探索式的学习”，进入更高层次的学习，乃至走向创造新知识、发明新技术之路，而不是过程相反，在缺乏基础知识和基本技能的情形下，就能轻而易举地发现新知识。
这就是数学教育的逻辑所在和基本规律。那种打着“探索性自主式学习”旗号的“进步主义教学法”，教出的学生只能是知识结构残缺不全却容易好高骛远，因为他们本来就空空的脑袋不可能容易无中生有地探索出未曾学过的知识来。
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