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壹位華裔數學家40年目睹之怪現狀
壹位華裔數學家40年目睹之怪現狀壹位華裔數學家40年目睹之怪現狀
我曾經多次教過本系夏季學期研究生課程，班上的學生除了碩士生或博士生外，還有部分是只能在暑假前來注冊修課的高中數學老師，有的甚至來自外州，他們在職攻讀數學教育碩士或博士學位。
拾余年前，為了讓這些中學數學老師學到壹點現代數學分支離散動力系統的概念和方法，我開了壹門名叫“動力幾何”的課，意在通過迭代叁角形，讓學過甚至教過歐幾裡得平面幾何的他們開啟從有序到混沌的幾何之旅。
當講到“垂足叁角形”迭代並構造其對應的壹類我曾參與研究並發表過幾篇學術論文的分形時，我先在黑板上畫上壹個銳角叁角形，然後從它的每壹個頂點作其對邊的垂線，得到的叁個垂足構成原先叁角形的垂足叁角形，將這個叁角形拿走（叁條邊保留下來），那麼原先的大叁角形內剩下叁個小叁角形，這完成了制造對應分形的無窮次迭代的第壹次迭代，之後對每壹個剩下的更小叁角形如法炮制，直至無窮。為了獲得最終形成的那個稱之為“謝爾賓斯基垂足叁角形(Sierpiński pedal triangle)”分形的維數性質，需要證明這叁個小叁角形都與初始選定的大叁角形相似。見下圖所示：
要證明這大小肆個叁角形兩兩相似，即證明它們的對應角相等，只需用到叁垂線交於壹點的事實和肆點共圓及圓周角的性質，這些都是初等幾何的基本內容。
我相信中國讀過中學數學的人都應該會做，考上大學的更不在話下了。既然聽我課的都是研究生和中學數學教師，我想請他們來證明，順便摸摸他們的數學根底，於是我就問誰願意上黑板展示壹下。我等了很久，卻沒有壹個人舉手上講台。
這就是美國中學數學老師自我畫出的壹幅數學圖景。
他們在本國接受了全部的教育，在小學階段基本上是不被要求熟記“小九九乘法口訣表”的，因為他們的老師和家長也沒有背過，然而他們很早就學會使用電子計算器，因為有影響力的教育專家們鼓勵他們只管用，而計算器制造商則依賴有天賦和創造力的工程師不斷革新產品，不停增強計算畫圖功能，讓這幫孩子用得方方便便，愛不釋手，答案手到擒來。
在中學階段，他們的老師解壹元壹次方程時在黑板上分伍步做，比方說解3x + 2 = 5。第壹步，兩邊加上-2：3x + 2 + (-2) = 5 + (-2)；第贰步，改寫：3x + 0 = 3；第叁步，化簡：3x = 3；第肆步，兩邊除以3：3x/3 = 3/3；第伍步，化簡得到解：x = 1。老師這樣教是因為他們不知道“移項換符號”的便利，也沒有人曾讓他們像中國初中生那樣可以壹步到位快速完成這些簡單運算並壹口清地報告答案。更不用說在初中代數課堂上，老師會命令學生背誦平方差公式等最基本的代數恒等式。
到了高中學平面幾何，看上去厚厚的教材印刷精美，圖形伍彩繽紛，文字引人入勝。然而卻少了中國幾何教本中的最重要內涵：推理證明。在“探索法學習”的大旗指引下，學生捧在手中的幾何讀本，功能幾乎等同於“直觀理解”，似乎在“看圖識字”，而拋棄了歐幾裡得幾何的精髓。這個精髓就是：通過寥寥幾條公理和公設，推演出平面幾何的所有命題，如叁角形的內角和必定是180度。這個精髓引領了近代科學，把人類從愚昧中解救了出來。
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拾余年前，為了讓這些中學數學老師學到壹點現代數學分支離散動力系統的概念和方法，我開了壹門名叫“動力幾何”的課，意在通過迭代叁角形，讓學過甚至教過歐幾裡得平面幾何的他們開啟從有序到混沌的幾何之旅。
當講到“垂足叁角形”迭代並構造其對應的壹類我曾參與研究並發表過幾篇學術論文的分形時，我先在黑板上畫上壹個銳角叁角形，然後從它的每壹個頂點作其對邊的垂線，得到的叁個垂足構成原先叁角形的垂足叁角形，將這個叁角形拿走（叁條邊保留下來），那麼原先的大叁角形內剩下叁個小叁角形，這完成了制造對應分形的無窮次迭代的第壹次迭代，之後對每壹個剩下的更小叁角形如法炮制，直至無窮。為了獲得最終形成的那個稱之為“謝爾賓斯基垂足叁角形(Sierpiński pedal triangle)”分形的維數性質，需要證明這叁個小叁角形都與初始選定的大叁角形相似。見下圖所示：
要證明這大小肆個叁角形兩兩相似，即證明它們的對應角相等，只需用到叁垂線交於壹點的事實和肆點共圓及圓周角的性質，這些都是初等幾何的基本內容。
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在中學階段，他們的老師解壹元壹次方程時在黑板上分伍步做，比方說解3x + 2 = 5。第壹步，兩邊加上-2：3x + 2 + (-2) = 5 + (-2)；第贰步，改寫：3x + 0 = 3；第叁步，化簡：3x = 3；第肆步，兩邊除以3：3x/3 = 3/3；第伍步，化簡得到解：x = 1。老師這樣教是因為他們不知道“移項換符號”的便利，也沒有人曾讓他們像中國初中生那樣可以壹步到位快速完成這些簡單運算並壹口清地報告答案。更不用說在初中代數課堂上，老師會命令學生背誦平方差公式等最基本的代數恒等式。
到了高中學平面幾何，看上去厚厚的教材印刷精美，圖形伍彩繽紛，文字引人入勝。然而卻少了中國幾何教本中的最重要內涵：推理證明。在“探索法學習”的大旗指引下，學生捧在手中的幾何讀本，功能幾乎等同於“直觀理解”，似乎在“看圖識字”，而拋棄了歐幾裡得幾何的精髓。這個精髓就是：通過寥寥幾條公理和公設，推演出平面幾何的所有命題，如叁角形的內角和必定是180度。這個精髓引領了近代科學，把人類從愚昧中解救了出來。
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